Доброго времени суток.
Вопрос об оставлении ребёнка за отцом ребёнка - далеко не простой, а если вернее, то очень сложный и от многих факторов зависит. Приблизительное соотношение выигрыш/проигрыш составляет как 20/80. Нужно знать обстоятельства и профессионализм адвоката.
Теперь относительно регистрации по месту жительства матери ребёнка, то Ваша мама (собственник дома) может выписать Вашу "гражданскую" жену в любой момент, ребёнка - нет до 18-ти лет. Вопрос проживания её в доме собственника с ребёнком - проблемный, однако возможно проживание ребёнка вместе с матерью по её месту жительства.
Рекомендация: Готов Вам помочь.